수익률 분포에 대해서 알아보자.

수익률 분포란 특정 자산의 수익률이 다양한 값을 가지는 현상을 말합니다. 이 분포는 일반적으로 평균, 중앙값, 분산, 표준편차 등의 통계적 지표를 사용하여 설명됩니다. 이 글에서는 수익률 분포와 관련된 통계적 지표와 수식에 대해 자세히 설명하겠습니다.

 

수익률 분포에서 가장 기본적인 통계적 지표는 평균입니다. 평균은 모든 수익률을 더한 후 수익률의 개수로 나눈 값입니다. 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.

• 평균 = (수익률1 + 수익률2 + ... + 수익률n) / n

여기서 n은 수익률의 개수입니다. 예를 들어, 10개의 수익률이 있다면, 평균은 이 10개의 수익률을 더한 후 10으로 나눈 값입니다.

 

평균 수익률은 자산의 성과를 측정하는 가장 일반적인 방법 중 하나입니다. 그러나 평균은 극단적인 값들에 의해 크게 영향을 받을 수 있기 때문에, 다른 통계적 지표를 함께 사용하는 것이 좋습니다.

 

중앙값은 수익률 분포에서 가장 중심에 위치하는 값입니다. 즉, 모든 수익률을 크기순으로 나열한 후 중앙에 위치한 값입니다. 수익률 분포에서 극단적인 값들에 크게 영향을 받지 않기 때문에, 중앙값은 평균보다 더 안정적인 지표입니다.

 

분산은 수익률이 얼마나 분산되어 있는지를 나타내는 지표입니다. 분산은 각 수익률과 평균값의 차이를 제곱한 후, 그 값을 모든 수익률의 개수로 나눈 것입니다. 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.

• 분산 = ((수익률1 - 평균)^2 + (수익률2 - 평균)^2 + ... + (수익률n - 평균)^2) / n

표준편차는 분산의 양의 제곱근입니다. 분산은 수익률이 얼마나 분산되어 있는지를 나타내지만, 단위가 제곱이기 때문에, 분산의 제곱근을 취함으로써 분산과 같은 단위를 갖는 수치를 사용하지 않게 됩니다. 표준편차는 수익률 분포의 산포도를 나타내는데, 수익률이 평균값으로부터 얼마나 멀리 분포되어 있는지를 나타냅니다. 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.

• 표준편차 = √분산

수익률 분포에서의 표준편차는 일반적으로 그 자산의 변동성을 측정하는 지표로 사용됩니다. 즉, 표준편차가 높을수록 해당 자산의 수익률이 큰 폭으로 변동하고, 안정적인 자산일수록 표준편차가 낮아집니다.

 

수익률 분포는 대개 정규분포, 즉 가우시안 분포를 따릅니다. 정규분포는 수학적으로 다루기 쉽고, 통계학의 기본적인 개념 중 하나입니다. 정규분포는 평균을 중심으로 좌우대칭인 종 모양의 분포를 가지며, 평균과 표준편차의 값으로 완전히 결정됩니다.

 

정규분포의 수식은 다음과 같습니다.

• f(x) = (1 / σ√(2π)) * e^(-((x-μ)^2)/(2σ^2))

여기서, f(x)는 확률밀도함수(probability density function, pdf)를 나타내며, x는 관측된 수익률 값입니다. μ는 평균값이며, σ는 표준편차입니다.

 

정규분포의 특징 중 하나는 68-95-99.7 규칙이라는 것입니다. 이 규칙은 정규분포에서 평균값에서부터 표준편차의 1배, 2배, 3배 범위 내의 값들이 각각 전체 데이터의 68.27%, 95.45%, 99.73%를 차지한다는 것을 의미합니다. 이 규칙은 수익률 분포의 대략적인 모양을 파악하는데 유용합니다.

 

또한, 수익률 분포에서는 대개 로그 수익률(logarithmic return)을 사용합니다. 로그 수익률은 수익률에 자연로그를 취한 값입니다. 로그 수익률을 사용하는 이유는, 로그 수익률은 수익률의 곱셈이 덧셈으로 변환되기 때문입니다. 즉, 로그 수익률의 합은 전체 수익률의 곱으로 계산할 수 있습니다. 이는 특히 장기간에 걸쳐 수익률을 계산하는 경우에 유용합니다. 예를 들어, 10%의 수익률을 3년 동안 얻는 것과 4%의 수익률을 10년 동안 얻는 것은 로그 수익률로 계산하면 동일한 값을 가집니다.

 

로그 수익률을 사용하면, 수익률 분포가 보다 정규분포에 가까워지기 때문에, 통계학적인 분석에 용이합니다. 또한 로그 수익률은 주가나 환율 등의 자산의 백분율 변화를 측정하는 데에도 사용됩니다.

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